Problemi di lavoro (operai e tempo)

Schema base — operai con stessa produttività

Più operai = meno tempo (proporzione inversa).

Formula: N₁ × T₁ = N₂ × T₂

Esempio classico

4 operai impiegano 6 giorni a fare un muro. 8 operai quanto?

• 4 × 6 = 8 × x
• 24 = 8x
• x = 3 giorni

Variazione: dato il tempo, trovare gli operai

3 operai in 12 giorni. Per finire in 4 giorni quanti operai?

• 3 × 12 = N × 4
• N = 36/4 = 9 operai

Schema avanzato — operai con velocità diverse

Quando Mario e Luca hanno tempi diversi per fare lo stesso lavoro.

Approccio "frazione di lavoro al giorno"

• Mario fa il lavoro in 6 giorni → in 1 giorno fa 1/6 del lavoro
• Luca fa il lavoro in 12 giorni → in 1 giorno fa 1/12 del lavoro
• Insieme in 1 giorno: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4
• → Insieme finiscono in: 1 / (1/4) = 4 giorni

Formula generale (2 operai, tempi T₁ e T₂)

T_insieme = (T₁ × T₂) / (T₁ + T₂)

Verifica: T_insieme = (6×12)/(6+12) = 72/18 = 4 ✓

Schema con persone che escono dal lavoro

Esempio: 6 operai iniziano un lavoro che richiederebbe 10 giorni. Dopo 4 giorni, 2 operai vanno via. Quando finiranno?

• Lavoro totale: 6 × 10 = 60 unità-giorno
• Lavoro fatto in 4 giorni: 6 × 4 = 24 unità-giorno
• Lavoro rimanente: 60 − 24 = 36 unità-giorno
• Operai rimasti: 6 − 2 = 4
• Tempo rimanente: 36/4 = 9 giorni
• Tempo totale: 4 + 9 = 13 giorni

Trabocchetti

• Sommare i tempi (errore!): se Mario fa in 6 e Luca in 12, NON fanno insieme in 18 giorni
• Mediare i tempi (errore!): non è (6+12)/2 = 9
• → La formula corretta è la frazione: 1/6 + 1/12 = 1/4 → 4 giorni

Problemi con macchine

Stesso schema: macchina = operaio.

Esempio: 3 stampanti stampano 600 pagine in 2 ore. 5 stampanti in quanto tempo?

• Lavoro: 3 × 2 = 6 unità
• 5 × t = 6 → t = 6/5 = 1,2 ore = 1h12min

Strategia

1. Riconosci se è proporzione inversa (più operai → meno tempo)
2. Imposta N₁ × T₁ = N₂ × T₂
3. Per velocità diverse: usa la frazione di lavoro al giorno
4. Verifica che il risultato abbia senso (più operai = meno tempo)