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Abilità numeriche e ragionamento Problemi pratici Medio

Percentuali in problemi reali

Variazioni, aumenti combinati, casi pratici

~5 min di lettura Aggiornata il
In breve

I problemi reali con percentuali sono molto frequenti: aumento + sconto, variazione tra 2 anni, popolazione che cresce, prezzi che cambiano. Regola d'oro: ogni % si applica al valore corrente, non a quello originale. Per variazioni complete (es. da 100 a 130 a 117), calcola passo per passo moltiplicando per (1±X%).

Spiegazione

Variazioni successive

Esempio: stipendio 1000€. Aumento 10% poi diminuzione 10%. Stipendio finale?

  • Dopo aumento: 1000 × 1,10 = 1100
  • Dopo diminuzione: 1100 × 0,90 = 990€ (NON 1000!)

Perché?

Le 2 percentuali si applicano a basi diverse:

  • +10% si applica a 1000
  • −10% si applica a 1100 (più grande)
  • Il "−" pesa di più → finale leggermente inferiore

Formula generale

Variazione totale: (1 + X₁) × (1 + X₂) × ... × (1 + Xₙ) − 1 (in %)

  • +10% poi −10% = (1,10 × 0,90) − 1 = 0,99 − 1 = −1% (riduzione totale)

Aumenti percentuali multipli (popolazione, prezzo)

Esempio: una città cresce del 5% all'anno per 3 anni. Da 100.000 abitanti, quanti dopo 3 anni?

  • Dopo 1 anno: 100.000 × 1,05 = 105.000
  • Dopo 2 anni: 105.000 × 1,05 = 110.250
  • Dopo 3 anni: 110.250 × 1,05 = 115.762,5 ≈ 115.763

Trucco — interesse composto

Valore_finale = Valore_iniziale × (1 + X)ⁿ

  • 100.000 × 1,05³ = 100.000 × 1,157625 = 115.762,5

Variazione totale tra 2 valori

Esempio: stipendio era 1.500€, ora è 1.800€. Aumento %?

  • Variazione: 1800 − 1500 = 300
  • Aumento %: 300/1500 × 100 = 20%

Formula: (nuovo − vecchio) / vecchio × 100

Confronti relativi

Esempio: A vale 80, B vale 100. Di quanto B è maggiore di A in %?

  • (100−80)/80 × 100 = 25/100... no aspetta, (100−80)/80 = 20/80 = 25%
  • B è il 25% più di A

Inverso: A è quanto in % meno di B?

  • (100−80)/100 = 20% meno di B

(Notare: non sono uguali!)

Problemi tipici nei concorsi

Esempio 1 — saldi

"Un cappotto da 200€ è scontato del 20% nei saldi. Dopo il primo mese, il saldo aumenta del 10% (cioè il prezzo cresce del 10% rispetto al prezzo scontato). Prezzo finale?"

  • Dopo sconto: 200 × 0,80 = 160€
  • Dopo aumento del 10%: 160 × 1,10 = 176€

Esempio 2 — bilancio personale

"Mario guadagna 1.500€/mese. Spende il 60% in casa, il 20% in cibo. Quanto risparmia?"

  • Spese: 60% + 20% = 80% di 1.500 = 1.200
  • Risparmio: 1.500 − 1.200 = 300€ (o 20% di 1.500 = 300)

Esempio 3 — fatturato

"L'azienda ha fatturato 500.000€ nel 2024 e 575.000€ nel 2025. Aumento %?"

  • (575.000 − 500.000) / 500.000 × 100 = 75/500 × 100 = 15%

Trabocchetto pesante

+50% e poi −50% NON tornano a 100 (vanno a 75!).

Prezzo 100€:

  • +50% → 150€
  • −50% di 150 → 75€ (perdita finale del 25%!)

Strategia

  1. Identifica il valore di partenza corretto per ogni operazione
  2. Applica % una alla volta, mai sommarle
  3. Per n aumenti uguali successivi: usa (1+X)ⁿ
  4. Verifica con un controllo del senso (% positiva vs negativa)

Punti chiave

Da ricordare
  • Ogni % si applica al valore CORRENTE
  • +X% poi −X% ≠ tornare al valore iniziale
  • Per n aumenti uguali: (1+X)ⁿ
  • Variazione: (nuovo−vecchio)/vecchio × 100

Esempi pratici

Esempi dal concorso e dalla pratica quotidiana

1) Stipendio 2000€, aumento 5%, poi tassazione 22% sul lordo. Stipendio netto? → Lordo = 2000 × 1,05 = 2100. Netto = 2100 × 0,78 = 1.638€

2) Da 200 a 250, di quanto è aumentato in %? → (250−200)/200 × 100 = 25%

3) Prezzo cresce del 10% per 2 anni consecutivi. Da 1000 a quanto? → 1000 × 1,10² = 1000 × 1,21 = 1.210€

4) Aumento 30% e poi sconto 30%. Da 100 a quanto? → 100 × 1,30 × 0,70 = 91€ (perdita del 9%)

5) Popolazione cresce del 2% all'anno. Da 50.000 a quanti dopo 5 anni? → 50.000 × 1,02⁵ = 50.000 × 1,1041 = 55.204

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